在显示模式下，给定的数学公式为：

(1) 以矩阵形式表达, 二元样本回归方程为
$$\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime}+e$$

参数的估计值为
$$\hat{\boldsymbol{\beta}}=\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Y}\right)$$

于是
$$\left(\begin{array}{l}
\hat{\beta}_{0} \\
\hat{\beta}_{1} \\
\hat{\beta}_{2}
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Y}\right)=\left(\begin{array}{c}
626.509 \\
-9.79057 \\
0.02862
\end{array}\right)$$

根据随机干扰项方差的估计式 $\hat{\sigma}^{2}=\frac{\sum e_{i}^{2}}{n-k-1}$ 得到
$$\hat{\sigma}^{2}=\frac{e^{\prime} \boldsymbol{e}}{n-k-1}$$

而
$$\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^{\prime} \boldsymbol{e} & =(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{Y}})^{\prime}(\boldsymbol{Y}-\hat{\boldsymbol{Y}})=(\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}})^{\prime}(\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}) \\
& =\boldsymbol{Y}^{\prime} \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{Y}^{\prime} \boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}-\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Y}+\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}} \\
& =\boldsymbol{Y}^{\prime} \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{Y}^{\prime} \boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}-\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Y}+\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\prime} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Y} \\
& =\boldsymbol{Y}^{\prime} \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{Y}^{\prime} \boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}} \\
& =4515071.83-4512954.98=2116.85
\end{aligned}$$

故
$$\hat{\sigma}^{2}=\frac{e^{\prime} e}{n-k-1}=\frac{2116.85}{10-2-1}=302.41$$

又由于
$$\begin{array}{l}
\mathrm{TSS}=\sum\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}=\sum\left(Y_{i}^{2}-2 \bar{Y} Y_{i}+\bar{Y}^{2}\right) \\
=\sum Y_{i}^{2}-n \bar{Y}^{2}=\boldsymbol{Y}^{\prime} \boldsymbol{Y}-n \bar{Y}^{2} \\
=4515071.83-10 \times 449342.31=21648.73
\end{array}$$
故
$$\begin{aligned}
R^{2} & =1-\frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}}=1-\frac{e^{\prime} \boldsymbol{e}}{\boldsymbol{Y}^{\prime} \boldsymbol{Y}-n \bar{Y}^{2}} \\
& =1-\frac{2116.85}{21648.73}=0.9022 \\
\bar{R}^{2}= & 1-\left(1-R^{2}\right) \frac{n-1}{n-k-1}=0.8743
\end{aligned}$$
(2) 方程的总体线性性检验由下面的 $F$ 检验进行:
$$\begin{aligned}
F & =\frac{\mathrm{ESS} / k}{\mathrm{TSS} /(n-k-1)}=\frac{(\mathrm{TSS}-\mathrm{RSS}) / k}{\mathrm{TSS} /(n-k-1)} \\
& =\frac{(21648.73-2116.85) / 2}{21648.73 /(10-2-1)}=32.29
\end{aligned}$$

在 $5 \%$ 的显著性水平下, 自由度为 $(2,7)$ 的 $F$ 分布的临界值为 $F_{0.05}(2,7)=4.74$, 可见 $32.29>4.74$, 表明方程的总体线性性显著成立。
由于
$$\begin{aligned}
S_{\hat{\beta}_{0}} & =\sqrt{\hat{\sigma}^{2} c_{00}}=\sqrt{302.41 \times 5.32536} \\
& =\sqrt{1610.42}=40.13 \\
S_{\hat{\beta}_{1}} & =\sqrt{\hat{\sigma}^{2} c_{11}}=\sqrt{302.41 \times 0.033816} \\
& =\sqrt{10.2262}=3.1978 \\
S_{\hat{\beta}_{2}} & =\sqrt{\hat{\sigma}^{2} c_{22}}=\sqrt{302.41 \times 0.00000011} \\
& =\sqrt{0.00003408}=0.005838
\end{aligned}$$

故常数项与 $X_{1}, X_{2}$ 前参数的估计值的 $t$ 检验值分别为
$$\begin{array}{l}
t=\frac{\hat{\beta}_{0}}{S_{\hat{\beta}_{0}}}=\frac{626.509}{40.13}=15.612 \\
t=\frac{\hat{\beta}_{1}}{S_{\hat{\beta}_{1}}}=\frac{-9.79057}{3.1978}=-3.062 \\
t=\frac{\hat{\beta}_{2}}{S_{\hat{\beta}_{2}}}=\frac{0.028618}{0.005838}=4.902
\end{array}$$

在 $5 \%$ 的显著性水平下, 自由度为 7 的 $t$ 分布的临界值为 $t_{0.025}(7)=2.365$, 可见常数项及 $X_{1}$与 $X_{2}$ 的总体参数值均显著地异于零。
常数项 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 参数的 $95 \%$ 的置信区间分别为
$$\begin{array}{ll}
\hat{\beta}_{0} \pm t_{0.025} \times S_{\hat{\beta}_{0}}=626.509 \pm 2.365 \times 40.13 & \text { 或 }(531.62,721.40) \\
\hat{\beta}_{1} \pm t_{0.025} \times S_{\hat{\beta}_{1}}=-9.791 \pm 2.365 \times 3.1978 & \text { 或 }(-17.35,-2.22)
\end{array}$$
$$\hat{\beta}_{2} \pm t_{0.025} \times S_{\hat{\beta}_{2}}=0.0286 \pm 2.365 \times 0.0058 \text { 或 }(0.014,0.042)$$

在 Eviews 软件下, 回归结果如图 3-2 所示。

(3) 将 $X_{1}=35, X_{2}=20000$ 代入回归方程, 可得
$$Y=626.51-9.7906 \times 35+0.0286 \times 20000=856.20 \text { (元) }$$

由于
$$\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}
5.32536028 & -0.36302110 & 0.00053817 \\
-0.36302110 & 0.03381604 & -0.00005958 \\
0.00053817 & -0.00005958 & 0.00000011
\end{array}\right)$$

因此, 取 $\boldsymbol{X}_{0}=\left(\begin{array}{lll}1 & 35 & 20000\end{array}\right), Y$ 均值的预测的标准差为
$$\begin{aligned}
S_{\hat{Y}_{0}} & =\sqrt{\hat{\sigma}^{2} \boldsymbol{X}_{0}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}_{0}^{\prime}}=\sqrt{302.41 \times 4.539} \\
& =\sqrt{1372.62}=37.05
\end{aligned}$$

在 $5 \%$ 的显著性水平下, 自由度为 $10-2-1=7$ 的 $t$ 分布的临界值为 $t_{0.025}(7)=2.365$,于是 $Y$ 均值的 $95 \%$ 的预测区间为
$$856.20 \pm 2.365 \times 37.05 \text { 或 }(768.58,943.82)$$

同样容易得到 $Y$ 个值的预测的标准差为
$$\begin{aligned}
S_{\hat{Y}_{0}} & =\sqrt{\hat{\sigma}^{2}\left[1+\boldsymbol